Diagonaliser une matrice : le cas complexe

 Diagonaliser une matrice peut se faire en moins de 10 minutes dans les cas complexes, où toutes les valeurs propres, sauf exactement deux, peuvent être devinées

En illustration, la diagonalisation de la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$

Analyse au brouillon (3 minutes)

Ecrire la matrice  $A-\lambda I_3=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 3\\ 3& 1-\lambda & 2\\ 2& 3& 1-\lambda \end{array}\right)$ puis remarquer que

• Pour $\lambda =6$, la matrice $A-6I_3=\left(\begin{array}{ccc}-5& 2& 3\\ 3& -5& 2\\ 2& 3& -5\end{array}\right)$ vérifie $C_1+C_2+C_3=0$
• Après quelques minutes de recherche (pas plus de 5), aucune autre valeur propre n'a été trouvée

Synthèse sur sa copie (7 minutes)

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$  est vecteur propre de $A$ pour $\lambda =1$ car $A\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+2+3\\ 3+1+2\\ 2+3+1\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Déterminons les autres valeurs propres de A

 $$\begin{array}{rl}\lambda \ne 6\text{ valeur propre de }A& ⟺rg\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 3\\ 3& 1-\lambda & 2\\ 2& 3& 1-\lambda \end{array}\right)<3C_1⟸C_1+C_2+C_3\\ & ⟺rg\left(\begin{array}{ccc}6-\lambda & 2& 3\\ 6-\lambda & 1-\lambda & 2\\ 6-\lambda & 3& 1-\lambda \end{array}\right)<3C_1⟵C_1/(6-\lambda )\\ & ⟺rg\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1-\lambda & 2\\ 1& 3& 1-\lambda \end{array}\right)<3\text{Pivots avec }{L}_1\\ & ⟺rg\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1-\lambda & -1\\ 0& 1& -2-\lambda \end{array}\right)<3\\ & ⟺1+rg\left(\begin{array}{cc}-1-\lambda & -1\\ 1& -2-\lambda \end{array}\right)<3\text{matrice pas inversible}\\ & ⟺det\left(\begin{array}{cc}-1-\lambda & -1\\ 1& -2-\lambda \end{array}\right)=0\\ & ⟺(-1-\lambda )(-2-\lambda )-(-1)=0\\ & ⟺{\lambda }^2+3\lambda +3=0\text{mise sous forme canonique}\\ & ⟺{({\lambda }^2+\frac{3}{2})}^2-\frac{3i^2}{4}=0\\ & ⟺(\lambda +\frac{3+i\sqrt{3}}{2})(\lambda +\frac{3-i\sqrt{3}}{2})=0\\ & ⟺\lambda =-\frac{3+i\sqrt{3}}{2}\text{ ou }\lambda =-\frac{3-i\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Remarque : ce procédé de diagonalisation

• ne réalise qu'un seul pivot déduit de l'analyse préliminaire (au lieu de trois pivots pour rendre la matrice triangulaire supérieure), qui permet de simplifier rapidement la résolution d'équation 
• est utilisable pour toutes les tailles de matrices 3, 4, 5, 6, ... n..., dès qu'il manque exactement 2 valeurs propres
• fait moins souffrir les élèves.
• Dans ce genre d'exercices où il est déjà difficile de déterminer les valeurs propres, les vecteurs propres sont rarement demandés, mais peuvent être trouvés
• par résolution de système
• en trouvant visuellement une relation entre colonnes
• Il y a des opportunités pour déduire un vecteur propre demandé d'un autre précédemment calculé (conjugaison, ...)