Convergeur

 Diagonaliser une matrice peut se faire en moins de 10 minutes  dans les cas complexes, où  toutes les valeurs propres, sauf exactement deux, peuvent être devinées En illustration, la diagonalisation de la matrice \(A=\pmatrix{1 &2&3\cr 3&1&2\cr 2& 3&1}\) Analyse au brouillon (3 minutes) Ecrire   la matrice  \(A-\lambda I_3=\pmatrix{1 -\lambda&2 & 3\cr 3 & 1-\lambda &2\cr 2 & 3 & 1-\lambda}\) puis remarquer que Pour \(\lambda=6\), la matrice \(A-6I_3=\pmatrix{-5&2 & 3\cr 3 & -5 & 2\cr 2 & 3 & -5}\) vérifie \(C_1+C_2+C_3=0\) Après quelques minutes de recherche (pas plus de 5), aucune autre valeur propre n'a été trouvée Synthèse sur sa copie (7 minutes) \(\pmatrix{ 1\cr 1\cr 1}\)  est vecteur propre de \(A\) pour \(\lambda=1\) car \(A \times \pmatrix{1\cr 1\cr 1}=\pmatrix{ 1+2+3\cr 3+1+2\cr 2+3+1}= 6\pmatrix{1\cr 1\cr 1}\) Déterminons les autres valeurs propres de A  \[\eqalign{\lambda\neq 6\hbox{ valeur propre d

Diagonaliser une matrice peut se faire en moins de 5 minutes dans les cas simples, où toutes les valeurs propres, sauf au plus une, peuvent être devinées En illustration, la diagonalisation de la matrice \(A=\pmatrix{2 &-1 & 1\cr 1 & 0 &-1\cr 2 & -2 & 1}\) Analyse au brouillon (3 minutes) Ecrire   la matrice  \(A-\lambda I_3=\pmatrix{2 -\lambda&-1 & 1\cr 1 & -\lambda &-1\cr 2 & -2 & 1-\lambda}\) puis remarquer que Pour \(\lambda=1\), la matrice \(A-I_3=\pmatrix{1&-1 & 1\cr 1 & -1 &-1\cr 2 & -2 & 0}\) vérifie \(C_1+C_2=0\) Pour \(\lambda=-1\), la matrice \(A+I_3=\pmatrix{3&-1 & 1\cr 1 & 1 &-1\cr 2 & -2 & 2}\) vérifie \(C_2+C_3=0\) Pour \(\lambda=3\), la matrice \(A-3I_3=\pmatrix{-1&-1 & 1\cr 1 & -3 &-1\cr 2 & -2 & -2}\) vérifie \(C_1+C_3=0\) Remarques :  Comme la trace est égale à la somme des valeurs propres, on déduit la troisième valeur propre des deux autres. Le ca