Diagonaliser une matrice : le cas simple

Diagonaliser une matrice peut se faire en moins de 5 minutes dans les cas simples, où
toutes les valeurs propres, sauf au plus une, peuvent être devinées

En illustration, la diagonalisation de la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ 2& -2& 1\end{array}\right)$

Analyse au brouillon (3 minutes)

Ecrire la matrice  $A-\lambda I_3=\left(\begin{array}{ccc}2-\lambda & -1& 1\\ 1& -\lambda & -1\\ 2& -2& 1-\lambda \end{array}\right)$ puis remarquer que

• Pour $\lambda =1$, la matrice $A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& -1& -1\\ 2& -2& 0\end{array}\right)$ vérifie $C_1+C_2=0$
• Pour $\lambda =-1$, la matrice $A+I_3=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ 2& -2& 2\end{array}\right)$ vérifie $C_2+C_3=0$
• Pour $\lambda =3$, la matrice $A-3I_3=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 1& -3& -1\\ 2& -2& -2\end{array}\right)$ vérifie $C_1+C_3=0$

Remarques : 

• Comme la trace est égale à la somme des valeurs propres, on déduit la troisième valeur propre des deux autres.
• Le calcul du rang $rg(A-\lambda I_n)$ donne la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre $\lambda$ et donc le nombres de relations linéairement indépendantes entre colonnes que l'on est sensé trouver

Synthèse sur sa copie (2 minutes)

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$  est vecteur propre de $A$ pour $\lambda =1$ car $A\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-1\\ 1+0\\ 2-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ est vecteur propre de $A$ pour $\lambda =-1$ car $A\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1+1\\ 0-1\\ -2+1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ est vecteur propre de $A$ pour $\lambda =3$ car $A\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+1\\ 1-1\\ 2+1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Donc, la matrice $A$ est diagonalisable et vérifie $A=PD{P}^{-1}$ pour $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

Remarque : ce procédé de diagonalisation

• évite la recherche coûteuse de valeurs propres via l'équation $det(A-\lambda I_n)=0$ ou $rg(A-\lambda I_n)=0$
• évite la résolution coûteuse de trois systèmes linéaires pour trouver un vecteur propre associés à chaque valeur propre
• présente moins de risques d'être fausse (calculs simples, vérifiés lors de la rédaction sur la copie)
• est humainement faisable pour toutes les tailles de matrices 2, 3, 4, 5, 6, ... n... (plus la matrice est grande, plus l'exercice est facile)
• est beaucoup plus agréable pour les élèves (trouver les valeurs propres et les vecteurs propres est ludique), ce qui les réconcilie avec l'algèbre linéaire 
• Pour comparer, la démonstration enseignée majoritairement en France :