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Diagonaliser une matrice : le cas complexe
Diagonaliser une matrice peut se faire en moins de 10 minutes dans les cas complexes, où toutes les valeurs propres, sauf exactement deux, peuvent être devinées En illustration, la diagonalisation de la matrice \(A=\pmatrix{1 &2&3\cr 3&1&2\cr 2& 3&1}\) Analyse au brouillon (3 minutes) Ecrire la matrice \(A-\lambda I_3=\pmatrix{1 -\lambda&2 & 3\cr 3 & 1-\lambda &2\cr 2 & 3 & 1-\lambda}\) puis remarquer que Pour \(\lambda=6\), la matrice \(A-6I_3=\pmatrix{-5&2 & 3\cr 3 & -5 & 2\cr 2 & 3 & -5}\) vérifie \(C_1+C_2+C_3=0\) Après quelques minutes de recherche (pas plus de 5), aucune autre valeur propre n'a été trouvée Synthèse sur sa copie (7 minutes) \(\pmatrix{ 1\cr 1\cr 1}\) est vecteur propre de \(A\) pour \(\lambda=1\) car \(A \times \pmatrix{1\cr 1\cr 1}=\pmatrix{ 1+2+3\cr 3+1+2\cr 2+3+1}= 6\pmatrix{1\cr 1\cr 1}\) Déterminons les autres valeurs propres de A \[\eqalign{...
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